今天给各位分享最大公约数怎么求的知识,其中也会对两个正整数的最大公约数怎么求进行解释,如果能碰巧解决你现在面临的问题,别忘了关注本站,现在开始吧!
本文目录一览:
- 1、怎样求最大公约数?
- 2、最大公约数怎么求算法
- 3、求最大公约数
怎样求最大公约数?
您好,在求最大公约数时,一般先用最小的公约数去除,直到得数为互质数时为止,再将所有的公约数相乘,积就是几个数的最大公约数。
举个例子:
以12和16为例,两者先都除以2,得6,8。
6和8还可以继续除以2,得到3,4。
3,4互为质数,不可再除。
所以12,和16的最大公约数就等于2乘2,得4。
最大公因数,也称最大 公约数、最大公 因子,指两个或多个 整数共有 约数中最大的一个。 a, b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大 公约数记为(a,b,c),多个 整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种 方法,常见的有 质因数分解法、 短除法、 辗转相除法、 更相减损法。与最大公约数相对应的概念是 最小公倍数,a,b的 最小公倍数记为[a,b]。
最大公约数怎么求算法
求最大公约数有多种方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。
1、质因数分解法
把每个数分别分解质因数,再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最大公约数。
例如:求24和60的最大公约数,先分解质因数,得24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,24与60的全部公有的质因数是2、2、3,它们的积是2×2×3=12,所以,(24,60)=12。
2、短除法
短除法求最大公约数,先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所有的商互质为止,然后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公约数。
3、辗转相除法
辗转相除法也叫欧几里德算法。用辗转相除法求几个数的最大公约数,可以先求出其中任意两个数的最大公约数,再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数,依次求下去,直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数,就是所有这些数的最大公约数。
4、更相减损法
也叫更相减损术,是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法,它原本是为约分而设计的,但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下:
第一步:任意给定两个正整数;判断它们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。
第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”,就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。
扩展欧几里德算法
扩展欧几里得算法(又称扩充欧几里得算法)是用来解某一类特定的不定方程的一种方法,常用用来求解模线性方程及方程组。扩展的欧几里得算法可以用来计算模逆元,而模逆元在公钥密码学中占有举足轻重的地位。
基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
求最大公约数
最大公因数,也称最大公约数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大公约数记为(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。
求最大公约数有多种方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,a,b的最小公倍数记为[a,b]。
最大公约数求法:
质因数分解法
质因数分解法:把每个数分别分解质因数,再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最大公约数。
例如:求24和60的最大公约数,先分解质因数,得24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,24与60的全部公有的质因数是2、2、3,它们的积是2×2×3=12,所以,(24,60)=12。
把几个数先分别分解质因数,再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例如:求6和15的最小公倍数。先分解质因数,得6=2×3,15=3×5,6和15的全部公有的质因数是3,6独有质因数是2,15独有的质因数是5,2×3×5=30,30里面包含6的全部质因数2和3,还包含了15的全部质因数3和5,且30是6和15的公倍数中最小的一个,所以[6,15]=30。
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