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验证与改进马尔萨斯人口模型
1、人口具有无限增长的趋势。因为任何生物的生殖能力都要大大超过生物的简单更替水平，人作为生物界的一个种属一点也不例外，所以人口的自然增长完全根源于人的生物属性。用n表示人口数量（人）。
2、个人为维持生存所必需的生活资料（以粮食为例）有下限。它是马尔萨斯理论中“食物为人类生存所必需”的数量化和精确化的表述。它也根源于人的生物属性。用s表示这一下限，即表示确保生存的基本口粮水平（斤/人）。
3、单位土地的产出量有上限，这就是“土地生产率界限法则”。它也根源于农业的生物学属性。裴先生指明，在不同时代、不同技术条件下，“土地生产率界限”并不相同，一般地，它随着技术水平的提高而提高。从这一角度看，“土地生产率界限”是相对的；但是在任何一个相对稳定的时期，社会往往没有什么技术进步，稳定的（更确切些说是停滞的）技术状况又决定了当时的“土地生产率界限”具有不可突破性，从这一角度看它又具有绝对性。裴先生用y表示亩产量的上限（斤/亩）。
4、社会所能够利用的土地（面积）是有限的。它根源于人类无法改变的地理条件。裴先生用a表示土地（亩）。
先假定社会的初始状态是人口稀少，土地相对丰裕。在一个相对独立的社会中，人口的自然增长必然要求有更多的粮食来供养，由于单位土地的产量有限，这就必须扩大种植面积才可能解决，于是村庄周围的荒地被开垦为耕地。等到村庄之间已经没有荒地可供开垦之时，再增加的剩余人口就会选择迁移到偏远地区垦荒，直到偏远地区也逐渐开垦完毕为止。
但是人口却不因为缺乏可开垦的荒地而停止增长。为了解决新增人口的生存问题，人们只得更加集约地利用原有的土地，通过在原有土地上增加劳动投入以获得更高的产量，推动土地单产逼近或达到当时当地（土地质量也有差别）的“土地生产率极限”。土地单产越是接近“土地生产率极限”，每一单位劳动投入获得的边际报酬就越少，这就是人们常说的“边际收益递减”原理。由于人口增长速度超过粮食产量的增加速度，于是人均粮食越来越少，一直减少到生存底线s为止，这时就会出现食物对人口的马尔萨斯抑制。这时粮食达到最大总产量ay，人均粮食为ay/n，它等于个人对粮食的最低需求量s，即s=ay/n，还可以变形为ns=ay。这时粮食单产已经达到极限y，不能够再增加了；耕地面积也为地理条件所限制只能维持在a，所以总产量ay已经达到极限。由于s为个人维持生存所必需，没有降低的可能，于是人口n也不再有增长的现实余地，这时社会收敛于ns=ay状态。笔者把此时的人口状态n称为饱和状态（地理学上把这一人口数量称为“环境人口容量”）。如果没有外生变量的掺入，社会按照这一原理运行，最后都会出现人口的饱和状态，此时四
个因数都僵持不动，社会本身也限于停滞（没有经济增长），社会科学家把这一情况称为“人口陷阱”、“人口均衡”等等。
裴先生归纳说，任何时候的社会状况，不外乎ns＜ay、ns=ay、ns＞ay三种情况。第一种情况是总需求小于总产量，社会还有剩余，土地产出量也没有达到极限，所以总产量也有继续增加的余地。按照马尔萨斯原理，这个社会一定还能够供养更多的人口，由于人口具有自然增长趋势，并且人口增长快与粮食增长，所以社会最后总会达到ns=ay的状态，成为第二种情况。第三种是需求大于总产量的情况，这时社会已经难以供养现存人口，于是就会饿死人，迫使人口又恢复到ns=ay的水平。
需要指出的是，裴先生也认识到ns＞ay的状况是社会动乱、农民起义的基础原因。对社会何以会出现ns＞ay的状况，裴先生虽然也提到了自然灾害，但没有作深入分析。实际上，自然灾害是引起社会变化的重要“外生变量”。我们将自然灾害纳入马尔萨斯模型，就会得到如下推理：
当社会收敛于ns=ay状态时，如果突然遭遇大面积的自然灾害，粮食单产就会大大下降（y值减小），甚至出现绝收（y=0），这时就出现全局性的ns＞ay的情况，社会状况就会变得非常严重。由于s是维持生存的底线，于是就只能降低人口n来求得平衡。马尔萨斯看到，战争、瘟疫和自然灾害都对人口造成“实际”的抑制。我们从人口模型看，战争、瘟疫和自然灾害的作用机制并不相同。瘟疫往往产生于人口饱和之时。当社会收敛于ns=ay状态时，人口都普遍陷于贫困，人们营养不良，体质下降，即使没有天灾，也容易遭受瘟疫的打击。我们都知道西欧的黑死病（淋巴腺鼠疫）曾经造成了人口的大量下降。中国的历史记载中有关瘟疫的情况并不多，但这并不说明中国发生大规模的瘟疫很少，只不过是被人系统记载和研究的较少罢了。中国历史上有关社会战乱的记载很多，其中大规模的农民起义和农民战争，大都与天灾密切相关。天灾迫使农民无法生存，参加起义是唯一可能的活路。农民起义和社会战乱毁灭了大量人口（中国历史上毁灭2/3人口的战乱就不在少数），人地矛盾危机趋向缓和，天灾往往也已经过去，幸存人口渴望安居乐业，于是出现了新的统治王朝（公共产品提供者），社会又开始了新一轮的王朝循环。用改进的马尔萨斯模型来说，就是又开始了由ns＜ay状态，经过ns=ay收敛，最终由天灾引发ns＞ay的状态，导致社会的下一轮崩溃。总之，自然灾害间接毁灭人口，而战争和瘟疫则是直接毁灭了人口，都造成了对人口的马尔萨斯抑制。
容易看到，裴先生把马尔萨斯模型归纳为四要素收敛于均衡状态，确实比马尔萨斯的理论更为科学。尤其是，四要素都根源于人类无法控制的、在社会经济理论模型内无法解释的“自然法则”，确实是落到了“非经济的底部”，完全可以作为社会科学理论框架的基础性“公理”。笔者以为，裴先生确实为社会科学作出了重要的理论贡献。
人口模型是怎么建立的？
这就是一个数学模型，可以用灰色模型来解决，也可以用差分方程，罗杰斯特方法。在网上搜索一个2007年全国大学生数学建模A题的论文，你就能够看懂了！献上一个别人的资料，给你参考哈！
马尔萨斯人口增长模型中e指什么？
马尔萨斯人口增长模型中e指自然对数的底，是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数。它的大小是这样定义的：
马尔萨斯人口增长模型理论源于前人的思想。它在客观上提醒了人们注意人口与生活资料比例协调， 防止人口的过速增长， 从而成为现代理论的开端。马尔萨斯的人口理论在经济学上也被得到广泛的应用，可以说，也是当今人类被关注的焦点， 从辩证法的角度来讲，马尔萨斯永远是超前的。
Malthus模型的人口增长公式是什么，以及怎么应用？
----Malthus模型是由英国统计学家马尔萨斯（T R Malthus）于1798年提出的人口模型：
dN(t)dt=rN(t), N(t=t0)=N0 （1）
式中r 代表出生率，假设为常数，
N(t) 为t 时刻的人口数量。方程（1）的解为：
N(t)=N0er(t-t0)（2）
（2）表示人口增长将按指数规律增长，称为Malthus人口指数增长模型，简称Malthus模型。实践证明当人口数量不太大时，Malthus模型能够很好的说明人口总数的增长情况。
------Malthus模型公式为：
y=C0*e^rt,
其中c0为人口基数，
e为自然是2.71828……，
r为人口增长率，
t为时间。
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供你参考！
注意：Malthus模型是不考虑外界因素对人口增长的影响的，认为人口增长率时常数，在人口较少的时候，这个模型可能对人口发展做出较为准确的预测，当人口基数很大时，这个模型时不成立的。
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