蒙特卡罗方法(蒙特卡罗方法求积分)

　　蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计算方法。

　　一 起源

　　这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和 Nicholas Metropolis。

Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。

蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。

　　二 解决问题的基本思路

Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

　　为了说明Monte Carlo方法的基本思想，让我们先来看一个简单的例子，从此例中你可以感受如何用Monte Carlo方法考虑问题。

　　例1:比如y=x^2(对x)从0积到1。结果就是下图红色部分的面积：

注意到函数在(1,1)点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。所以所求区域的面积即为 在正方形区域内任取点，点落在所求区域的概率。这个限制条件是y<x^2。用matlab模拟，做一百万次(即共取1000000个点)，结果为0.3328。

1）总结Monte Carlo方法的基本思想：所求解问题是某随机事件A出现的概率（或者是某随机变量B的期望值）。通过某种“实验”的方法，得出A事件出现的频率，以此估计出A事件出现的概率（或者得到随机变量B的某些数字特征，得出B的期望值）。

　　2）工作过程

　　在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：

　　用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。

　　用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。

　　3）蒙特卡罗解题三个主要步骤：

　　（1）构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。

　　（2）实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种估计量： 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。

　　（3）建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量： 于是，在N次实验后，正品个数为： 显然，正品率p为： 不难看出，Ti为无偏估计。当然，还可以引入其它类型的估计，如最大似然估计，渐进有偏估计等。但是，在蒙特卡罗计算中，使用最多的是无偏估计。 用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下：构造一个概率空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A是集合W 的子集的s 体，P是在A上建立的某个概率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q (w ),w Î W ,使得这个随机变量的期望值 正好是所要求的解Q ，然后用q (w )的简单子样的算术平均值作为Q 的近似值。

　　三 本方法特点

直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。

　　· 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。

　　· 不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。

　　· MC程序结构清晰简单。

　　· 研究人员采用MC方法编写程序来解决粒子输运问题，比较容易得到自己想得到的任意中间结果，应用灵活性强。

　　· MC方法主要弱点是收敛速度较慢和误差的概率性质，其概率误差正比于，如果单纯以增大抽样粒子个数N来减小误差，就要增加很大的计算量。

另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法-"拟蒙特卡罗方法"(Quasi-Monte Carlo方法)-近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的"华-王"方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是"用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。

蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。

　　四 生活中的例子

　　1、π的计算

　　第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。

　　正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。

　　现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。

　　如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。

　　2、积分的计算

　　上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。

　　比如，计算函数 y = x2 在 [0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。

　　分析结果同上。

　　3、交通堵塞

　　蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统内部的随机运动。下面的例子模拟单车道的交通堵塞。

　　根据 Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。

当前速度是 v 。

如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ，直到达到规定的最高限速。

如果前面有车，距离为d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d – 1 。

此外，司机还会以概率 p 随机减速， 将下一秒的速度降低到 v – 1 。

　　在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率 p 为 0.3 。

　　上图中，横轴代表距离（从左到右），纵轴代表时间（从上到下），因此每一行就表示下一秒的道路情况。

　　可以看到，该模型会随机产生交通拥堵（图形上黑色聚集的部分）。这就证明了，单车道即使没有任何原因，也会产生交通堵塞。

　　4、产品厚度

　　某产品由八个零件堆叠组成。也就是说，这八个零件的厚度总和，等于该产品的厚度。

　　已知该产品的厚度，必须控制在27mm以内，但是每个零件有一定的概率，厚度会超出误差。请问有多大的概率，产品的厚度会超出27mm？

　　取100000个随机样本，每个样本有8个值，对应8个零件各自的厚度。计算发现，产品的合格率为99.9979%，即百万分之21的概率，厚度会超出27mm。

　　5、证券市场

　　证券市场有时交易活跃，有时交易冷清。下面是你对市场的预测。

如果交易冷清，你会以平均价11元，卖出5万股。

如果交易活跃，你会以平均价8元，卖出10万股。

如果交易温和，你会以平均价10元，卖出7.5万股。

　　已知你的成本在每股5.5元到7.5元之间，平均是6.5元。请问接下来的交易，你的净利润会是多少？

　　取1000个随机样本，每个样本有两个数值：一个是证券的成本（5.5元到7.5元之间的均匀分布），另一个是当前市场状态（冷清、活跃、温和，各有三分之一可能）。

　　模拟计算得到，平均净利润为92, 427美元。

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