波利亚,匈牙利数学家,1940年前生活在欧洲,后移居美国。波利亚能够用匈牙利语、法语、德语、意大利语、英语和丹麦语等几种文字写作,他当然也会一些拉丁语和希腊语。波利亚青年时期曾攻读过数学、物理和哲学,在数学研究方面涉猎过数论、函数论、概率论、几何等领域。波利亚活到98岁耳聪目明,这与他一直进行数学思考不无关系。
波利亚(George Po?lya,1887—1985),匈牙利数学家,1940年前生活在欧洲,后移居美国。波利亚青年时期曾攻读过数学、物理和哲学,在数学研究方面涉猎过数论、函数论、概率论、几何等诸领域;晚年热心数学教育,所著数学教育书籍风靡世界。波利亚因其关于随机行走问题的研究而闻名。
波利亚的数学功底在其同事和学生中间有口皆碑,就对基础数学的理解深度而言,无人能出其右。其对数学教学的热情,不只是其数学天分,才是取得这样杰出成就的保证。
关于波利亚为什么如此成功的探讨,一个必须注意的因素是其东欧血统。东欧人民大体上是天然地会掌握多种语言的族群。东欧的作家,如卡夫卡、昆德拉等人,都能用多种语言创作。
波利亚作为数学家,曾被誉为二十世纪经典分析领域的巨人之一,他的所有研究都体现出使人愉悦的个性、令人惊奇的鉴赏力、水晶般清晰的方法、简捷的手段以及有力的结果。但是,波利亚的名气更多地来自他的教育理念与实践。波利亚主张数学教育主要目的之一是发展学生解决问题的能力,教会学生思考。为了教会人们如何解答(数学)问题,波利亚先后撰写了How to Solve It(中译本《如何解题》),Mathematical Discovery on Understanding, Learning, and Teaching Problem Solving(中译本《数学的发现》),Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and Analogy in Mathematics(中译本《数学与猜想:数学中的归纳和类比》),Mathematics and Plausible Reasoning: Patternsof Plausible Inference(中译本《数学与猜想:合情推理模式》)等书。这些书籍一经出版,立刻在数学界引起轰动,很快风行世界。波利亚的这些书,高屋建瓴偏又能深入浅出,我相信几乎所有阅读过的人们都会有醍醐灌顶的感觉。笔者在阅读这些书籍时,只觉得那些年——从小学到博士毕业——笔者消磨在数学上的时光,真是白费了。
数学一向是被认为最晦涩难懂的学问。波利亚却有一种特殊的风格,总是能用他不经意的风趣去消解读者的畏难情绪。“In order to solve this differential equation, you look at it till a solution occurs to you.(为了解这个微分方程,你要盯着它看,直到方程的解降临于你。)”“The first rule of discovery is to have brains and good luck. Thesecond rule of discovery is to sit tight and wait till you get a bright idea.(发现的第一定律是要有脑子和好运气,发现的第二定律是你要坐得住,直等到有了聪明的好主意。)”这些风趣的句子随意散落在波利亚的著作中。句句在理的大白话,不免让人会心一笑。那接下来的深刻数学,也就不是那么索然无味了。
波利亚灌输数学思想的同时,一直不厌其烦地就具体的问题,引导读者去学会解决数学问题的方法。在《如何解题》一书中,波利亚针对解决数学问题(一般指还没有现成解的问题)建议了如下步骤:
1. 首先,你要弄明白问题;
2. 弄明白问题后,制定一个计划;
3. 执行计划;
4. 回过头来检查已完成的工作。可以做得更好一些吗?
如果以上几条不好使,波利亚建议你看看能否找到你能解决的、稍容易一点的问题,或者首先尝试解决一些相关的其它问题。笔者觉得,波利亚的这些建议不只是针对数学问题,对于物理学或者其它自然科学领域,它们也一样有效。难怪“按照波利亚的方式解决问题(Problemsolving a? la Po?lya.)”会被学术界奉为圭臬。
波利亚在数学方面的一个重大贡献是关于随机行走规律的研究。波利亚注意到随机行走问题的过程非常具有传奇色彩,因此被科学史家所津津乐道。波利亚在瑞士的时候,有段时间住在一家疗养院里。疗养院在一片林地里,平时波利亚就在林子里一边散步一边思考他的数学问题。有点像我们的唐朝诗人李贺,波利亚出门也是带着纸和笔的,一旦思有所得就赶紧记下来。疗养院附近住着一些学生,有些还是波利亚认识的。有一天,波利亚在散步的时候遇到了一个他认识的学生,这个学生带着他的女朋友一块儿也在散步。相遇的时候也许打过招呼也许没打招呼,反正是双方(波利亚一方,那个学生和他的女朋友为另一方)在相遇后选择不同路径各自继续走下去。令波利亚大为惊讶的是,尽管努力规避,接下来他们又在不同的地点相遇了好几次,这让双方多少都有一点尴尬。波利亚非常担心那个学生会以为他是故意在制造这样的相遇。“他们不会以为我是个变态吧?不行,本教授不是那样的人,这个现象一定要有个解释。”波利亚这样想到。这促使他考虑如下的问题:在给定的道路网格中,两个人不经意相遇的可能性到底是多大?这开启了波利亚关于随机行走问题的研究。1921年,他发表了第一篇关于随机 行走的论文。有人认为是波利亚第一个引入了“随机行走”这个概念,这不确切。其实早在1905年,佩尔森(Karl Pearson)就正式提出过随机行走的问题。
波利亚关于随机行走问题的规律,可简单地总结如下:
在一维空间中,一个随机选择下一步往哪儿走的醉汉有无穷多的机会路过他喝酒的那家酒馆;
在二维的道路网格上,一个随机选择下一步往哪儿走的醉汉在经过足够长的时间后有可能路过他喝酒的那家酒馆(图1);
在三维的道路网格上,一个随机选择下一步往哪儿走的醉汉算是别指望能路过他喝酒的那家酒馆了。还可以换个通俗的说法:你弄丢的狗不知哪一天自己就会找回家来,而你撒出去的鸟儿就再也没有相见的那一天了。这个结论很容易理解,但是要给出严格的数学证明,就不是一般人能胜任的了。如今,随机行走模型在物理学、化学、生物学、经济学等诸多领域都得到了广泛的应用。大师的影响,无远弗届。
图1 二维面上醉汉的随机行走
波利亚关于随机行走的定律,其社会学的意义也不容小觑。在几乎没有立交桥的地区,男人尽可以看着心爱的女人开车出门而不必担心。因为,即使她完全任性地、随机地前行或转弯,只要汽车还没有获得飞行的功能,足够长的时间后你就一定能看到她路过家门——但愿那时候你还能认得出她的模样。如果是在立交桥遍布的地区,如果她隔天还没回家,别等了,报警吧!
题图来源：We Have Concerns
参考文献：
George Po?lya. U?ber eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnungbetreffend die Irrfahrt im Strassennetz(关于在街道网格中误打误撞的概率计算). Math. Ann., 1921, 84: 149-160.
Karl Pearson. The Problem of The Random Walk. Nature, 1905, 72:294.
Gerald L. Alexanderson. The Random Walks of George Po?lya.Cambridge University Press, 2000.
David A. Levin, Yuval Peres. Polya’s Theorem on Random Walks viaPolya’s Urn. Amer. Math. Monthly, March 2010, 117: 220-231.
原文摘自中国科学院物理所科普大师曹则贤的新书《一念非凡——科学巨擎是怎样炼成的》。
曹则贤
中国科学院物理所研究员，编、译、著有《物理学咬文嚼字》(三卷)、《至美无相》、Thin FilmGrowth、《量子力学-少年版》等。
科学人问答
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【拓展阅读】数学中竟然还有这样的定理！
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